Boyer-Moore 多数表决算法

一. 引言

Boyer-Moore多数投票算法旨在在线性时间和常量空间内找到数组中的主要元素（出现次数超过一半的元素）。该算法通过维护候选元素和计数器来实现，适用于需要查找出现频率超过特定比例（如n/3）的元素的场景。

二. 两个候选者

1. 候选者1

表示一个潜在的主要元素。

2. 候选者2

表示另一个潜在的主要元素。

这是必要的，因为在数组中，最多只有两个元素可以出现超过n/3次。如果有三个这样的元素，它们的总数将超过n，这是不可能的。

三. 计数器

1. 计数器1

跟踪候选者1的出现次数。

2. 计数器2

跟踪候选者2的出现次数。

这些计数器有助于确定当前候选者是否应被替换，或者其计数是否应递增。

四. 第一次遍历

1. 遍历数组，找到两个最常见的候选者。
2. 根据当前元素调整候选者及其计数。

   • 如果当前元素与某个候选者匹配，则递增相应的计数。
   • 如果当前元素与两个候选者都不匹配，并且其中一个计数为零，则用当前元素替换该候选者，并重置计数。
   • 如果当前元素与两个候选者都不匹配且两个计数都非零，则两个计数均递减。

示例

考虑数组 [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4]：

• 第一次遍历结果：

  • 候选者：3 和 4（处理完数组后）
  • 计数：3 和 4（这是第一次遍历后的最终状态）

五. 第二次遍历

1. 通过再次遍历数组验证两个候选者的计数。
2. 只包括出现次数超过n/3的候选者。

示例验证

• 候选者3出现3次。
• 候选者4出现4次。
• 两者均超过n/3（n = 10）。

六. C#代码实现

public IList<int> MajorityElement(int[] nums)
{
    // 初始化候选者和计数器
    int candidate1 = 0, candidate2 = 0, count1 = 0, count2 = 0;

    // 第一次遍历
    foreach (var num in nums)
    {
        // 如果当前元素等于候选者1
        if (num == candidate1)
        {
            count1++;
        }
        // 如果当前元素等于候选者2
        else if (num == candidate2)
        {
            count2++;
        }
        // 如果计数器1为0，则用当前元素替换候选者1
        else if (count1 == 0)
        {
            candidate1 = num;
            count1 = 1;
        }
        // 如果计数器2为0，则用当前元素替换候选者2
        else if (count2 == 0)
        {
            candidate2 = num;
            count2 = 1;
        }
        // 如果都不匹配，递减计数
        else
        {
            count1--;
            count2--;
        }
    }

    // 重置计数器
    count1 = count2 = 0;

    // 第二次遍历
    foreach (int num in nums)
    {
        if (candidate1 == num)
            count1++;
        else if (candidate2 == num)
            count2++;
    }

    var result = new List<int>();
    // 检查候选者1的计数
    if (count1 > nums.Length / 3)
        result.Add(candidate1);
    // 检查候选者2的计数
    if (count2 > nums.Length / 3)
        result.Add(candidate2);

    return result;
}

七. 输出结果

1. 时间复杂度

时间复杂度为O(n)，因为算法只需固定次数遍历数组。

2. 空间复杂度

空间复杂度为O(1)，因为只使用固定数量的额外空间（候选者和计数器），与输入大小无关。

八. 结论

Boyer-Moore算法在查找主要元素方面非常高效，能够在时间和空间上提供优秀的性能。通过使用两个候选者，该算法有效地解决了在数组中查找出现频率超过n/3的元素的问题，展现了其在数据处理中的应用潜力。